t 检验

假设数据服从正态分布（大样本情况下可以放松为对称分布），那么平均值能够很好地反映数据的总体水平。那么两份符合上述假定的数据放在一起，可以使用两样本均值的 t 检验来分析两者水平的差异。根据两样本之间是否具有相关性，又可以将 t 检验分为独立样本 t 检验和配对样本 t 检验。

独立样本 t 检验

核心函数 t.test：

t.test(
  y ~ x, data, 
  alternative, mu = 0, 
  paired = FALSE,
  var.equal = FALSE,
  conf.level = 0.95,
  ...
)

t.test(
  x, y = NULL,
  alternative,
  mu = 0, 
  paired = FALSE, 
  var.equal = FALSE,
  conf.level = 0.95, 
  ...
)

其中 y ~ x 在 R 中称为 formula，你可以理解为：把 x 作为自变量、y 作为因变量，将两个变量联系起来。在这里，x 为一个二分变量，y 为一个数值变量。也可以不使用这种 formula，直接指定 x 和 y
data 是指使用的数据，也是 x 和 y 的来源
alternative 可选备择假设的类型，包括 “two.sided”、“less”或”greater”。其中第一种对应双侧检验 \(H_0:\mu_1=\mu_2\)，后面两种分别对应不同方向的单侧检验 \(H_0:\mu_1<\mu_2\) 和 \(H_0:\mu_1>\mu_2\)。默认值是 “two.sided”
mu 默认值为 0。以双侧检验为例，通常我们想比较两样本均值的差异 \(H_0:\mu_1=\mu_2\) 即 \(H_0:\mu_1-\mu_2=0\)，但有时我们也想比较两样本均值的差值是否与我们给定的 mu 有显著差异，即 \(H_0:\mu_1-\mu_2=\mu\) 。
paired 接受一个逻辑值，默认为 FALSE，即认为两样本独立并使用独立样本 t 检验。若为 TRUE 则使用两样本配对 t 检验
var.equal 若为 TRUE 则假定两样本方差相等，并使用合并方差估计。与一般统计软件不同的是：R 中默认两样本方差不等（FALSE），并且使用 Welch 的修正自由度
conf.level confidence level（置信水平的简写），默认值为 0.95

例子：

在美国南部犯罪与在非南部犯罪被判监禁的可能性一样吗？很显然，这是一个双侧检验，并假设方差不等。使用的数据来自 MASS 包中的 UScrime

Code

library(MASS)
library(tidyverse)

UScrime %>% head(10) %>% knitr::kable()

M	So	Ed	Po1	Po2	LF	M.F	Pop	NW	U1	U2	GDP	Ineq	Prob	Time	y
151	1	91	58	56	510	950	33	301	108	41	394	261	0.084602	26.2011	791
143	0	113	103	95	583	1012	13	102	96	36	557	194	0.029599	25.2999	1635
142	1	89	45	44	533	969	18	219	94	33	318	250	0.083401	24.3006	578
136	0	121	149	141	577	994	157	80	102	39	673	167	0.015801	29.9012	1969
141	0	121	109	101	591	985	18	30	91	20	578	174	0.041399	21.2998	1234
121	0	110	118	115	547	964	25	44	84	29	689	126	0.034201	20.9995	682
127	1	111	82	79	519	982	4	139	97	38	620	168	0.042100	20.6993	963
131	1	109	115	109	542	969	50	179	79	35	472	206	0.040099	24.5988	1555
157	1	90	65	62	553	955	39	286	81	28	421	239	0.071697	29.4001	856
140	0	118	71	68	632	1029	7	15	100	24	526	174	0.044498	19.5994	705

Code

t.test(Prob ~ So, data = UScrime) %>% 
  broom::tidy() %>% 
  knitr::kable()

estimate	estimate1	estimate2	statistic	p.value	parameter	conf.low	conf.high	method	alternative
-0.0252	0.0385126	0.0637127	-3.895372	0.0006506	24.92514	-0.0385257	-0.0118744	Welch Two Sample t-test	two.sided

Note

由于 Prob 是一个比例值，最好的处理方法是在 t 检验之前尝试对其进行正态化变换，比如：\(y/(1-y)\) 对数变换 \(\ln(y/(1-y))\)、Box-Cox 变换等。

非独立样本 t 检验

设置 paired = TRUE 即可实现非独立样本的配对 t 检验：

t.test(x, y, UScrime, paired = TRUE)

Code

sapply(UScrime[c("U1", "U2")], function (x) {c(mean=mean(x), sd=sd(x))}) %>% 
  knitr::kable()

	U1	U2
mean	95.46809	33.97872
sd	18.02878	8.44545

Code

t.test(UScrime$U1, UScrime$U2, paired = TRUE) %>% 
  broom::tidy() %>% 
  knitr::kable()

estimate	statistic	p.value	parameter	conf.low	conf.high	method	alternative
61.48936	32.40661	0	46	57.67003	65.3087	Paired t-test	two.sided

批量 t 检验

使用 iris 数据集，首先进行宽数据到长数据的转换。

宽数据：

Code

iris %>% head(10) %>% knitr::kable()

Sepal.Length	Sepal.Width	Petal.Length	Petal.Width	Species
5.1	3.5	1.4	0.2	setosa
4.9	3.0	1.4	0.2	setosa
4.7	3.2	1.3	0.2	setosa
4.6	3.1	1.5	0.2	setosa
5.0	3.6	1.4	0.2	setosa
5.4	3.9	1.7	0.4	setosa
4.6	3.4	1.4	0.3	setosa
5.0	3.4	1.5	0.2	setosa
4.4	2.9	1.4	0.2	setosa
4.9	3.1	1.5	0.1	setosa

转换为长数据：

Code

data <- iris %>% as.tibble()
data.long <- data %>% 
  pivot_longer(cols = -Species, names_to = "Variable", values_to = "Value")

data.long %>%
  head(10) %>%
  knitr::kable()

Species	Variable	Value
setosa	Sepal.Length	5.1
setosa	Sepal.Width	3.5
setosa	Petal.Length	1.4
setosa	Petal.Width	0.2
setosa	Sepal.Length	4.9
setosa	Sepal.Width	3.0
setosa	Petal.Length	1.4
setosa	Petal.Width	0.2
setosa	Sepal.Length	4.7
setosa	Sepal.Width	3.2

批量独立样本 t 检验：

Code

library(rstatix)

stat.test <- data.long %>%
  group_by(Variable) %>%
  t_test(Value ~ Species, paired = FALSE, alternative = "two.sided") %>% # 非配对t检验、双尾检验
  adjust_pvalue(method = "BH") %>% # p值调整方法，可选FDR
  add_significance(
    "p.adj", # 根据调整后的p值换算显著性符号
    cutpoints = c(0, 0.01, 0.05, 0.1, 1), 
    symbols = c("***", "**", "*", "ns") # *的数量可以自己改
  )

stat.test %>% knitr::kable()

Variable	.y.	group1	group2	n1	n2	statistic	df	p	p.adj	p.adj.signif
Petal.Length	Value	setosa	versicolor	50	50	-39.492719	62.13977	0e+00	0e+00	***
Petal.Length	Value	setosa	virginica	50	50	-49.986186	58.60939	0e+00	0e+00	***
Petal.Length	Value	versicolor	virginica	50	50	-12.603779	95.57044	0e+00	0e+00	***
Petal.Width	Value	setosa	versicolor	50	50	-34.080342	74.75469	0e+00	0e+00	***
Petal.Width	Value	setosa	virginica	50	50	-42.785798	63.12262	0e+00	0e+00	***
Petal.Width	Value	versicolor	virginica	50	50	-14.625367	89.04338	0e+00	0e+00	***
Sepal.Length	Value	setosa	versicolor	50	50	-10.520986	86.53800	0e+00	0e+00	***
Sepal.Length	Value	setosa	virginica	50	50	-15.386196	76.51587	0e+00	0e+00	***
Sepal.Length	Value	versicolor	virginica	50	50	-5.629165	94.02549	2e-07	2e-07	***
Sepal.Width	Value	setosa	versicolor	50	50	9.454976	94.69777	0e+00	0e+00	***
Sepal.Width	Value	setosa	virginica	50	50	6.450349	95.54723	0e+00	0e+00	***
Sepal.Width	Value	versicolor	virginica	50	50	-3.205761	97.92683	2e-03	2e-03	***